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  • 지난해 중앙대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까?
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.11.09 13:35
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ⑨

 





중앙대학교는 2019학년도에 서울캠퍼스 논술전형에서 전체 모집 정원의 25%에 이르는 820명의 신입생을 선발한다. 이는 정시모집 선발 인원 보다 100명가량 많은 수준이다. 하지만 수능 최저학력기준이 다른 대학에 비하여 높은 편이어서 논술전형 지원자들은 수능과 균형을 잡은 학습전략을 계획해야 한다. 이번 회에서는 전년도 중앙대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.

 


 

○ 중앙대학교 수시모집 논술고사

 

중앙대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 120분에 수리논술 3문제, 과학논술 1문제가 출제되고, 각 대문항은 소문항으로 나누어질 수 있다.

 

2018학년도 중앙대 수리논술은 전년도와 비슷하게 평이하게 출제되었으며 출제방식 및 유형도 예년과 동일했다. 올해의 논술시험도 작년과 유사한 형식으로 진행된다.

 

중앙대 수리논술 시험의 난이도는 평균적으로 높지 않은 편이지만 종종 고난이도의 문제가 포함되기도 한다. 또한 수리논술 3개의 문항 중 [문제 1]이 가장 쉬운 경우가 많으므로 이 문제를 반드시 먼저 풀도록 해야 한다. 중앙대에서는 수리논술 시험의 출제를 정형화하려 노력한 흔적들이 많이 보이며 비슷한 구성과 비슷한 형식으로 문제가 출제되는 경향이 있으므로 기출문제를 충분히 풀어보아 이러한 경향성을 파악해야 한다.

 


○ 2018학년도 중앙대학교 자연계열 수리논술 기출분석

 

2018학년도 중앙대 수리논술 시험은 모집단위에 따라 오전(자연계열I)과 오후(자연계열Ⅱ)로 나누어 시행되었으며 두 그룹의 문제 유형 및 형식은 차이가 없다. 이제부터 이 두 번의 시험 문제에 대하여 순차적으로 분석을 시작할 것이다. 

 

중앙대학교 수리논술 시험을 준비하는 학생들은 아래의 문항분석을 보기 전에 먼저 스스로 풀어볼 것을 권한다. 학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주고 문제을 이해할 수 있게 하기 위해서 아래 문항분석은 문제 풀이 방법을 알 수 있게 하는 설명이 다소 포함되어 있다, 하지만 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.


 

○ 자연계열I [자연과학대학/공과대학/간호학과(자연)/생명공학대학]

 

2018학년도 자연계열I에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 

 

2018학년도 중앙대 수리논술은 예년과 비슷한 정도의 난이도로 출제되었다. 다른 대학들의 수리논술 시험과 비교했을 때 어렵지 않은 수준이며 2018학년도에 의학부를 제외한 학과의 합격자들의 논술 평균점수는 100점 만점 기준 70.5점이었다(의학부는 87.0점). 중앙대학교 수리논술 시험에는 교과과정에서 많이 사용하던 개념 또는 유형이 자주 출제되지만 하나의 문제 안에서 여러 개념을 복합적으로 사용하는 경우가 많다. 즉, 2개 또는 3개의 수능 문제가 한 문제 안에 들어 있는 것과 같은 느낌의 문제가 많다. 각각의 문제를 살펴보며 중앙대학교에서 출제하는 수리논술 문제의 유형을 익혀두기 바란다.

 

 

[문제 1]

 

 

 

 

문항분석

 

중앙대에서는 [문제 1]에서 확률 또는 통계의 기본적인 개념을 확인하는 문제를 출제하는 경우가 많으며 2018학년도 자연계열I의 문제 또한 그러했다. [문제 1]은 손님의 유형에 따라 스마트폰 상품을 소개하는 규칙이 주어졌을 때, 매출액의 기댓값을 구하는 문제이다. 고등수학에서 기댓값을 구하는 다른 문제들과 마찬가지로 가능한 모든 경우를 나눈 후 그 때의 확률을 각각 계산하면 해결할 수 있는 문제이다. 단, 스마트폰을 한 번 구매할 때까지 문제에 주어진 단계가 많으므로 확률 계산에서 곱해야 할 확률이 많다. 하나도 빠트림 없이 적용하는 것이 중요하다.

 

 

[문제 2]

 


 

 

문항분석

좌표평면에서 주어진 조건에 맞는 점 또는 그 자취를 찾는 문제이며 두 소문항 모두 ‘수직조건의 활용’이라는 공통점을 가지고 있다. 두 소문항 모두 문제를 풀기 위해서 떠올려야 할 쉽지 않은 발상들이 있다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[문제 2-1]

한 점에서 직선에 내린 수선의 발의 좌표는 제시문 (가)의  성질을 이용하면 구할 수 있으며 많은 학생들에게 익숙하리라 생각한다. 이 과정을 두 번 거치면 수선의 발의 x좌표인 을 구할 수 있으며 대부분의 학생들이 여기까지는 어려움 없이 도달할 것이다. 하지만 이 ​이 매우 복잡한 분수식으로 나타나 합을 구하기 어려운 문제가 발생한다. 물론 구해야 하는 합이 n이 1부터 5까지일 때인 5개뿐이기 때문에 하나하나 계산하여 직접 더할 수도 있다. 하지만 분수식이 매우 큰 숫자들로 표현되어 규칙을 찾지 못한다면 직접 더하는데 많은 시간이 소모될 것이다.

 

이 문제를 해결하기 위해서는 다음 두 가지의 생각이 필요하다. 

 

“첫째, 복잡한 분수식의 합/차에서 분자는 가벼울수록 좋다.” 

 

큰 숫자보다 작은 숫자에서 계산이 간단함은 당연한 것이다. 분수식에서 분모는 바꿀 수 없지만 분자는 필요에 따라 바꿀 수 있다. 예를 들어, 같은 분수는 으로 바꾸어 생각할 수 있다. 그러면 분수식 부분의 숫자가 작아져 덧셈 연산이 수월해 질 수 있다. 마찬가지로 복잡한 분수식으로 표현된 ​의 분자에서 분수식 밖으로 꺼낼 수 있는 부분은 꺼내어 분자를 가볍게 만들자. 이 과정만 거쳐도 식이 간단해져 해결 방법이 더 잘 보일 수 있다.

 

“둘째, 분모가 인수분해 되는 분수식은 언제나 부분분수로 분리할 수 있다.”

 

이것이 두 번째 열쇠이다. ​의 분모는 인수분해 되는 형태이다. 따라서 식을 변형하면 이를 부분분수로 분리할 수 있고, 그렇게 한다면 이 문제의 답은 단번에 보일 것이다.

 

 

[문제 2-2]

원이 포물선과 접하면서 움직일 때 원의 중심의 자취를 구하는 문제이다. 이 문제는 학생들에게 매우 어려울 수도 있는 문제이나 문제에 주어진 제시문으로 인해 실제 학생들에게 그만큼 어렵게 느껴지지 않았을 수 있다. 세 개의 제시문이 모두 문제 해결에 중요한 단서를 제공하고 있고, 특히 제시문 (나), (다)는 문제 해결에 가장 중요한 부분을 정확히 짚어주고 있다. 그렇기 때문에 수리논술에서 제시문을 활용하는 것은 중요하다. 이 문제 해결에서 계산이 중요한 것은 아니며 ‘발상’이 중요하다. 그 발상에 대해서만 이야기 하려 한다.

 

좌표평면에서 원점을 A, 구하고자 하는 원의 중심을 C라 하자. 우리는 점 C의 자취를 구해야 한다. 이 문제에서 가장 중요한 것은 C를 단번에 구하지 않는다는 생각이다. 즉, C로 가는 길을 단번에 구하지 않고, 중간에 경유점을 잡고, 경유점을 거쳐 C로 가는 방식으로 길을 찾는다는 것이다. 이것은 제시문 (나)에서 벡터 AC는 벡터 AB와 벡터 BC의 합과 같다고 한 것과 같은 의미이다. 곧바로 가지 않고 돌아가는 것처럼 보일 수 있으나, 경유점까지의 경로를 알고 있다면 이것이 오히려 쉬운 방법이 될 수 있다.

 

그렇다면 무엇을 경유점 B로 잡아야 할까? 당연히 문제에서 특별한 성질이 주어진 점을 경유점으로 잡아야 할 것이다. 학생들 머리 속에 떠오르는 점이 있는가? 학생이 ‘접점’을 떠올렸다면 수학적 사고과정이 잘 갖추어진 것이다. ‘포물선 위의 점’이라는 것, ‘원과 접한다는 것’ 등 문제에 주어진 특별한 조건이 동시에 적용되는 점은 이것뿐이다. 이를 떠올렸다면 주어진 성질을 이용하여 ‘접점까지의 벡터’와 ‘접점에서부터의 벡터’를 어렵지 않게 구할 수 있다. 여기서 제시문 (나)의 성질을 이용하면 원의 중심의 자취를 매개변수를 이용하여 표현할 수 있을 것이다.

 

구하는 자취는 좌표평면에서 x, y의 관계식으로 나타내기가 쉽지 않다. 앞에서 말했듯 구하는 자취는 매개변수를 통하여 표현하기가 더 쉽다. 그렇기 때문에 제시문 (다)가 주어진 것이다. 매개변수로 표현되었어도 이를 잘 적용하면 문제에서 요구하는 접선의 방정식을 구하기가 어렵지 않을 것이다.

 

 

[문제 3]


 

 

문항분석

이차함수의 최솟값을 분석하는 문제와 삼각형의 무게중심으로부터 만들어지는 수열의 합을 구하는 문제의 2개의 연관성 없는 소문항으로 구성되어 있다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[문제 3-1]

주어진 함수가 정해진 최솟값을 갖도록 하는 미지수의 값을 구하는 문제이다. 이 문제에서는 제시문이 문제풀이의 발상을 일깨워주는데 큰 역할을 한다. 주어진 함수는 f(x)라는 표현에서 보나 내림차순으로 정리된 형태로 보나 x에 대한 ‘사차함수’로 생각하기 쉽다. 이렇게 생각한다면 최솟값을 구하기 위해 미분을 해야 하고, 미분을 하면 도함수가 간단한 인수들로 인수분해 되지 않아 최솟값을 나타내기 위해 여러 가지 경우를 나눠야 하는 등 어려움을 겪는다(물론 이 방법으로 문제를 풀 수는 있다. 더 ‘어렵다’는 것이지 ‘불가능하다’는 것은 아니다).

 

그렇기 때문에 이 문제에 쉽게 접근할 수 있도록 하기 위해 출제자는 제시문 (가)와 제시문 (나)를 준 것이다. 제시문 (가)에서 아이디어를 얻는다면 주어진 함수 f(x)에 미지수가 a도 포함되어 있음을 생각할 수 있고, 이 함수를 x에 대한 ‘사차함수’가 아닌 a에 대한 ‘이차함수’로 생각할 수도 있다. 사차함수보다 이차함수가 더 간단함은 당연한 사실이며 이 문제의 경우는 이차함수의 표준형으로 정리했을 때 매우 규칙적인 형태가 나오도록 설계되어 더욱 간단히 해결할 수 있게 된다. 이것이 문제 해결의 가장 중요한 아이디어이며 이러한 생각을 한 학생들은 제시문 (가)에 주어진 이차함수 최솟값의 성질을 이용하여 문제를 더 간단히 풀 수 있었을 것이다.

 

[문제 3-2]

먼저 이 질문에 대해 생각해보자.

 

“k=1, 2, ... , 10에 대하여 일반항이 각각 3k-2, 3k-1, 3k인 3개 수열의 항들을 모두 나열하면?”

 

정답은 ‘1부터 30까지의 모든 자연수’이다. 이것이 이 문제 풀이에 가장 중요한 생각이다. 제시문에 무게중심의 공식이 적혀 있으니 많은 학생들이 무슨 말인지 이해하였으리라 생각한다. 잘 해결되는 듯하다 y좌표의 합에서 막히는 학생도 있을 것이고, x좌표의 합부터 막히는 학생도 있을 것이다. 이와 같은 경우에는 Σ로 표현된 합에서 k=1, 2, 3, ... 을 차례로 대입하며 직접 식을 전개하여 써 보자. 그것만으로 큰 도움이 되고 구하는 합이 무엇인지 더 쉽게 파악할 수 있을 것이다.

 

이와 같이 구하는 합을 간단한 식으로 표현하였다면 그 값을 구하기 위하여 이항정리를 적용해야 한다. n이 고정된 이항계수의 총합이기 때문이다. 이 부분은 교과서에도 공식처럼 다루는 것이므로 학생들에게 익숙할 것이다.

 

 

○ 자연계열Ⅱ [창의ICT공과대학/산업보안학과(자연)/의학부]

 

2018학년도 오후에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 

 

자연계열II에는 의학부가 포함되어 있다. 그것에 비하면 자연계열II의 문제가 자연계열I의 문제에 비하여 크게 어렵게 느껴지지는 않는다. [문제 1]의 경우는 자연계열II가 더 어려운 것 같지만 다른 문제들의 경우에는 그렇지 않고, 전체적인 난이도는 자연계열I과 큰 차이가 없어 보이기도 한다. 이제 각각의 문제를 살펴보자.

 

[문제 1]

 

 

 

문항분석

자연계열 II에서도 자연계열I에서와 마찬가지로 [문제 1]에서 확률 또는 통계의 기본적인 개념을 확인하는 문제가 출제되었다. [문제 1]을 비교했을 때 자연계열I의 문제보다 자연계열II의 문제가 더 익숙하지 않은 유형으로 출제되어 학생들에게는 더 어려웠으리라 예상된다. 확률 문제에서는 구하고자 하는 확률을 정확한 언어로 표현하는 것이 때로는 도움이 된다. 

 

이 문제에서는 “학생의 희망직업이 교사일 때, 보호자가 희망하는 학생 직업이 교사일 확률”과 “보호자가 희망하는 학생 직업이 교사일 때, 학생의 희망직업이 교사일 확률”의 두 가지 확률이 문제풀이의 중심이 되는 값이다.

 

이 두 확률을 조건부확률의 정의를 이용하여 계산하고, 그 확률을 각 그룹에서 선택된 각 2쌍에 대하여 적용하는 것이 핵심이다.

 

 

[문제 2]

 

 

 

문항분석

급수의 값을 계산하는 문제와 변수가 2개 포함된 함수의 최댓값, 최솟값을 구하는 연관성 없는 2개의 소문항으로 구성되어 있다. 두 개의 소문항을 통하여 복잡한 함수식의 분석 능력을 측정하고자 한 것으로 보인다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[문제 2-1]

급수의 값을 계산하는 문제이다. 주어진 식에서 (**k/n**)의 모양을 여러 부분에서 찾을 수 있다. 이것으로부터 ‘정적분의 정의’를 이용하여 정적분으로 변형하는 문제임을 알 수 있다. 수능 및 수능 모의고사에서도 자주 다루는 유형이므로 많은 학생들에게 익숙했으리라 생각한다.

 

이 문제는 정적분으로 변형해도 합성과 나눗셈이 복잡하게 섞여있기 때문에 단번에 적분이 안 되는 어려움이 있다. 여기서 적절한 부분에 치환적분과 부분적분을 적용하여 계산을 완료하는 것이 중요하다. 추가적으로 학생들에게 한 가지 팁만 더 남긴다. 적분 계산의 과정 중에 ‘코사인 함수의 제곱의 역수’가 포함된 함수를 적분해야 하는 상황이 있고, 이 부분의 계산이 계산 과정 중 가장 어려운 부분일 것이다. 이것을 ‘시컨트 함수의 제곱’이라 생각한다면 연결되는 아이디어가 있으리라 생각한다.

 

[문제 2-2]

등식과 부등식의 두 조건을 만족하는 x, y에 대하여 주어진 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제이다. 이 문제를 어렵게 만드는 첫 번째 요인은 ‘변수가 2개’라는 것이다. 정말로 특수한 경우가 아니라면 고등학교 수준에서는 변수가 2개인 함수의 최댓값이나 최솟값을 구할 수 없다. 따라서 이 문제를 풀기 위해서는 반드시 변수를 1개로 만들어야 한다. 이것은 주어진 두 조건식 중 첫 번째 등식을 이용하면 간단히 해결할 수 있다.

 

그렇다면 2번째 부등식은 어디에 이용해야 할까? 문제에 주어진 이 부등식으로 인해 x가 자유롭지 못하고 제약을 받게 된다. 즉, x의 범위가 제한된다는 것이다. 이 부등식에서는 x의 범위, 즉 함수의 정의역을 구해야 하는 것이다.

 

요약하면 첫 번째 등식으로 주어진 함수의 변수를 1개로 만들고, 두 번째 부등식으로 정의역을 구하여 그 정의역 내에서 최댓값과 최솟값을 구하면 된다는 것이다. 최댓값과 최솟값을 구하는 것은 미분법 단원에서 많이 연습했으리라 생각한다. 추가적으로 주의할 것은 이 문제에서는 정의역이 2개의 구간으로 나뉘어서 나타난다. 끊어진 두 조각의 곡선이라는 것을 염두하고 최댓값과 최솟값을 구해야 할 것이다.

 

 

[문제 3]

 

 

문항분석

정사영의 면적과 관련된 정적분을 계산하는 문제와 곡선 위를 연속적으로 움직이는 점의 속도를 구하는 연관성 없는 2개의 소문항으로 구성되어 있다. 두 개의 소문항을 통하여 공간도형과 미분, 적분의 다양한 개념의 이해도를 측정하려 한 것으로 보인다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[문제 3-1]

 

구를 평면으로 자른 단면을 다른 평면에 정사영한 면적을 구하고, 구한 면적 함수의 정적분값을 구하는 문제이다. 이 문제 해결은 다음 3가지의 과정으로 이루어진다.

 

       1. 구를 평면으로 잘랐을 때의 단면적을 구하는 과정

             2. 단면의 정사영의 면적을 구하는 과정

       3. 정사영의 면적을 정적분하는 과정

 

이 3가지의 과정 모두 교과과정을 공부하면서 충분히 다루어 본 유형일 것이며 이 문제가 특별한 것은 이 3가지의 과정이 한 문제 안에 들어있다는 것뿐이다. 주의할 점은 3번째 정적분하는 과정에서 적분하는 함수인 정사영의 면적 함수가 절댓값이 포함된 형태로 주어지기 때문에 구간을 분리하여 적분해야 한다는 것이다.

 

[문제 3-2]

점 P가 x축과 평행한 속도로 움직이고, 두 점 P, Q가 길이 5인 막대기로 연결된 상태에서 점 Q가 주어진 곡선 위를 움직이는 것과 같은 상황이 주어져 있다. 이 때 점 Q의 속도를 구하는 문제이다. 문제에 주어진 조건은 ‘P, Q의 거리가 5이다.’와 ‘점 Q가 주어진 곡선 위에 있다.’이다. 이를 연립하면 x와 t, 또는 y와 t의 관계식을 구할 수 있을 것이다. 단, 여기서 관계식이 복잡하게 유도되기 때문에 x와 y가 직접 구해지지는 않는다. 그렇기 때문에 제시문 (라)에서 음함수의 미분을 알려준 것이다. x와 y를 직접 구하지는 못하더라도 관계식을 직접 미분하여 구하고자 하는 속도를 얻을 수 있을 것이다.


참고로 문제를 해결함에 있어 주어진 두 조건식을 연립한 후 음함수 미분을 적용해도 좋고, 먼저 음함수 미분을 한 후 그것을 연립해도 좋다.

 

 

중앙대학교 수리논술 시험은 수학과 과학 문항이 분리되기 시작한 2015학년도부터 현재의 유형이 유지되고 있다. [문제 1]에서는 확률과 통계 단원의 기본 개념을 적용하는 문제, [문제 2], [문제 3]에서는 학생들이 자주 경험해본 유형들을 복합적으로 활용하는 문제가 출제되는 것이 일반적인 구성이다.  2019학년도에 중앙대학교 논술전형에 지원하는 자연계열 수험생들은 2015학년도 기출문제를 통하여 수리논술 시험에 대비하도록 하자.

 

중앙대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.



 


▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사

 



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


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  • 입력:2018.11.09 13:35
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