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  • 지난해 서강대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까?
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.11.02 12:58
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ⑥

 








서강대학교 논술전형에서는 2019학년도에 346명의 신입생을 선발한다. 정시모집 선발 인원 320명 보다 조금 많은 수준이다. 때문에 서강대학교를 지망하는 학생들은 논술전형에 관심을 가지게 된다. 이번 회에서는 전년도 서강대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.

 

 

○ 서강대학교 수시모집 논술고사

 

서강대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 100분에 수리논술 2개 대문항이 출제되고, 각 대문항 당 4개 내외의 소문항이 출제되어 왔다. 

 

2018학년도 서강대 수리논술 문제의 난이도는 평이했으며 출제방식 및 유형도 예년과 큰 차이가 없었다. 올해의 논술시험도 작년과 유사한 형식으로 진행된다.

 

서강대 수리논술에서는 제시문이 많은 역할을 한다. 문제풀이에 필요한 수학 이론에서부터 학생들이 잘 모르는 개념에 대한 자세한 설명, 유사한 문제의 풀이 방법 등 문제를 해결하는데 직접적으로 활용되는 많은 것들이 포함되어 있다. 따라서 서강대학교 수리논술 시험을 보다가 문제가 잘 풀리지 않을 때는 제시문의 내용 하나하나를 되새겨 보아야 할 것이다. 

 

 

○ 2018학년도 서강대학교 자연계열 수리논술 기출분석

 

2018학년도 서강대 수리논술 시험은 예전부터 그래왔듯 시험시간에 따라 두 그룹으로 나누어 시행되었으며(시험 시작시각이 학과에 따라 1시 또는 4시 30분으로 나뉘었으며 여기서는 편의상 이를 각각 그룹1, 그룹2로 표현하겠다.) 두 그룹의 문제 유형 및 난이도는 차이가 없다. 이제부터 이 두 그룹의 시험 문제에 대하여 순차적으로 분석을 시작할 것이다. 서강대학교 수리논술 시험을 준비하는 학생들은 아래의 문항분석을 보기 전에 먼저 스스로 풀어볼 것을 권한다. 학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주고 문제을 이해할 수 있게 하기 위해서 아래 문항분석은 문제 풀이 방법을 알 수 있게 하는 설명이 다소 포함되어 있다.

 

○ 그룹1 [전자공학전공/컴퓨터공학전공/수학전공]

 

2018학년도 그룹1에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 

 

2018학년도 서강대 수리논술의 모든 대문항은 4개의 소문항으로 나뉘어 출제되었다. 그 중 앞의 3개 소문항은 평이한 수준으로, 마지막 소문항은 변별력이 있게 출제된 경우가 많았으며 그룹1의 문제 모두 그러했다. 각각의 문제를 살펴보자.

 


[문제 1]

 

 

 

 

문항분석

 

하나의 문제 안에서 확률과 통계, 그리고 미분, 적분의 다양한 개념들을 측정하고자 한 문항이다. 이 문제의 제시문에는 문제 해결에 필요한 확률 계산의 아이디어와 수치 및 ‘만족도’의 개념 등이 상세히 설명되어 있으므로 제시문을 잘 이해하고 활용하는 것이 중요하다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[1-1]

독립시행에 따라 결과가 정해지는 게임에서 최종 결과를 추론하는 문제이다. 문제에서 ‘큰수의 법칙’을 언급했는데 이것이 문제를 해결하는 가장 중요한 열쇠이다. 

 

 

 

문제 풀이에 필요한 확률 값은 제시문에 그대로 주어져 있으므로 큰수의 법칙이 무엇인지 떠올리고, 그대로 적용한 학생은 간단히 해결되었을 것이다.

 

 

[1-2]

제시문 [가]에서 풀이해 준 문제에서 숫자 하나만 바뀐 문제이다. 즉, 제시문에서 주사위를 24번 던졌던 조건이 주사위를 25번 던진 것으로만 바뀌었을 뿐이다. 따라서 확률을 계산하는 방법은 제시문을 그대로 따라하면 되고, 계산에 필요한 수치도 제시문의 것을 이용하면 된다. ‘내기가 드 메레에게 불리하지 않은 이유’를 어떻게 설명할지 생각하는 과정이 가장 중요하다. 불리하지 않다는 것은 곧 ‘이길 확률이 질 확률보다 높다’는 것을 의미한다. 그리고 이것은 ‘이길 확률이 ½보다 크다’와 같은 의미이다. 따라서 제시문의 방법을 통해 ‘이길 확률’을 계산하여 그것이 ½보다 크다는 것을 보여야 함을 알 수 있다.

 

[1-3]

만족도의 기댓값이 최대가 되는 조건을 구하는 문제이다. 문제에 만족도의 개념이 소개되어 있고, 제시문에는 만족도에 대한 예제 풀이가 있으니 제시문을 차분히 읽어보고 그것에 맞게 만족도를 구한 후 미분을 이용하여 최대가 되기 위한 조건을 찾는다면 무난히 해결될 것이다. 단, 필자의 경험으로는 주어진 문제는 만족도의 기댓값에 대한 문제이나 ‘만족도의 기댓값’이 아닌 ‘기댓값의 만족도’를 구하려 한 학생이 많았다. 상금의 기댓값을 먼저 구한 후 로그를 취하는 것이 아니라 가능한 경우의 만족도를 먼저 구한 후 그것의 기댓값을 구하는 것임에 주의하자. 또한 제시문 [다]의 후반부에는 만족도의 기댓값을 구하는 예제(만족도는 로그가 아닌 다른 값이다.)가 소개되어 있다. 이것이 시험장에서는 큰 힌트가 될 수 있다.

 

[1-4]

변별력을 가지는 문제이다. 이 문제를 푸는 데는 두 가지 과정을 거쳐야 한다. 첫째는 확률변수 Y의 기댓값을 구하는 과정이고, 둘째는 부등식을 증명하는 과정이다. 여기서 확률변수 Y의 기댓값을 구하는 과정은 정의를 그대로 적용하면 되므로 어렵지 않다. 하지만 부등식을 증명하는 과정은 많은 학생들이 생각하기 어려웠을 것이다.  Y의 기댓값은 과 같은 식으로 표현되는데, 이 값은 직접 계산하기가 어렵다. 이 값의 범위를 찾기 위하여 정적분을 이용하여 다음의 부등식

 

을 생각해내야 한다. 수리논술을 사전에 충분히 공부해두지 않았다면 이 과정을 생각지도 못했을 수 있다. 전체 구간을 길이가 1인 소구간으로 등분한 후 각 소구간을 밑변으로 하는 직사각형들의 넓이 합과 정적분을 비교하여 얻을 수 있는 부등식으로 수리논술에서는 자주 활용되는 아이디어이지만 충분히 연습되지 않은 학생들에게는 생소했을 것이다. 이 문제에서는 문제에서 ‘제시문 [라]를 참고하여’라고 언급된 것으로부터 실마리를 얻을 수도 있었을 것이다. 이전 연재에서 2018학년도 한양대 수리논술(오후2의 [문제2] 소문항 3번)에서도 동일한 사고를 필요로 하는 문제를 출제했음을 소개했었다. 학생들이 수리논술 시험에 대비하기 위해 반드시 익혀두어야 할 부등식의 증명 방법이다.

 

 

[문제 2]

 

 

 

 

문항분석

 

제시문에 소개된 이론들에서 알 수 있듯 함수의 연속성, 미분가능성, 증가와 감소 등 함수의 기본적인 해석을 할 수 있는지 평가하는 문제이다. 이 문제에는 미분법 단원의 기본적인 성질을 확인하는 질문이 많이 포함되어 있다. 또한 후반부의 소문항에서는 앞 소문항의 결론을 잘 이용한다면 문제를 더욱 쉽게 해결할 수 있을 것이다. 이제 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[2-1]

정의역이 두 구간으로 나누어져 각 구간이 다른 식으로 표현되는 함수에 대하여 미분가능성을 확인하고, 부등식을 증명하는 문제이다. 두 구간에서 모두 다항함수식이 주어져 있으므로 x=1을 제외한 구간에서 미분가능함은 자명하다. x=1에서의 미분가능성만 확인하면 되는데 반드시 미분계수를 직접 계산하여 확인해야 한다.(제시문 [다]에 미분가능함의 정의가 서술되어 있다. 제시문을 꼼꼼히 확인하자!) 이 때, x가 1보다 클 때와 작을 때 함수식이 다르게 나타나므로 좌미분계수와 우미분계수를 각각 계산해야함에 주의하자.

 

다음으로 부등식을 증명해야 하는데 함수식이 직접 주어져 있고 함수 또한 간단한 다항함수이므로 대입하여 식을 정리한다면 어렵지 않게 증명될 것이다. 만약 증명이 잘 안된다면 모두 좌변으로 이항하여 우변을 0으로 만든 후 생각하자(함수와 관련된 부등식의 증명에서 항상 이런 방식으로 접근함이 좋다).

 

 

[2-2]

주어진 함수에 대하여 법선, x절편을 구하고, 연속성, 증가와 감소 등 함수의 기본적인 성질을 판단할 수 있는지 묻는 문제로 학생들에게 친숙한 유형의 문제이다. 제시문 [가], [나], [라]에 주어진 기본 성질들만 적용하면 쉽게 풀 수 있으리라 생각한다. 단, 함수의 정의역이 두 구간으로 나뉘어 있으므로 두 구간을 분리하여 생각해야 함에 유의하자.

 

[2-3]

[2-3]과 [2-4] 문항은 x축 위의 점에서 곡선 y=f(x) 위의 점까지의 거리가 최소가 되는 경우를 구하는 문제이다. 곡선의 정의역이 두 구간으로 나뉘어져 있으므로 이 또한 구간을 나누어서 생각해야 하는데 문제 자체에서 이것을 두 개의 소문항으로 나누어 주었기 때문에 학생들이 보다 쉽게 접근할 수 있게 해주었다.

 

[2-3]의 α가 3 이상인 경우는 거리가 최소인 점 B가 ‘직선’ 위에 있는 경우이다. 따라서 ‘수직’ 조건을 활용하면 B의 좌표를 구할 수 있을 것이다. 물론 가장 좋은 해결법은 [2-2]에서 얻은 결론을 이용하는 것이다. 잘 생각해보자. 거리가 최소인 점은 앞의 [2-2]에서 이미 구한 것이나 마찬가지이다.

 

[2-4]

[2-4]의 α가 3보다 작은 경우는 거리가 최소인 점 B가 곡선 위에 있는 경우로 이 소문항은 다른 문항에 비하여 난이도가 높다. 거리가 최소인 점을 구하기 위해서는 직접 거리를 함수식으로 표현한 후 최솟값을 구해도 좋고, B에서의 접선과 선분 AB가 수직임을 이용해도 좋다. 물론 이 경우도 [2-2]의 결론을 이용하면 점 B가 어디인지 단번에 알 수 있다. 여기서 이 문제를 어렵게 만드는 요인은 위와 같은 방법으로 점 B의 위치를 찾아보아도 점 B의 좌표가 α에 대해 간단한 식으로 표현되지 않는다는 것이다(인수분해 되지 않는 삼차방정식의 근으로 표현된다). 여기서 어려움을 겪은 학생들이 많을 것이다. 풀이가 막힐 때는 항상 문제를 다시 꼼꼼히 읽어보자. 문제에서는 B의 좌표를 구하라고 한 적이 없다. 문제에서는 α, β에 대한 부등식을 증명하다고 했을 뿐이다. 앞의 과정까지 도달한 학생들은 α, β 사이의 관계식을 얻었을 것이다. 우리의 목표는 β를 구하는 것이 아니라 문제의 부등식을 만들어내는 것이다. 얻어낸 α, β의 관계식을 잘 변형하여 문제에 주어진 형태로 만들어내도록 노력해보자.

 

 

○ 그룹2 [화공생명공학/기계공학/물리학]

 

2018학년도 그룹2에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 

 

그룹2의 문제도 4개의 소문항 중 앞의 3개 소문항은 평이한 난이도로 출제되었으며 마지막 소문항은 학생들을 충분히 변별할 수 있을 정도의 난이도로 출제되었다. 각각의 문제를 살펴보자.

 

 

[문제 3]

 

 

 

문항분석

 

수열의 극한, 정적분 등에서 로그함수의 성질을 이용할 수 있는지를 묻는 다양한 문제들이 모여 있다. 주어진 로그함수와 관련된 특수한 상황에서의 기본기가 잘 다져진 학생일수록 쉽게 풀어냈을 문제이다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[3-1]

복잡한 곱셈연산으로 이루어진 수열의 극한을 구하는 문제이다. 여기서 주목할 점은 수열에 ‘로그를 취한 후’ 극한을 구한다는 것이다. 이것은 문제를 쉽게 만들어주는 요소이기도 하다. 즉, 문제가 더 어렵게 출제되었다면 로그가 취해지지 않은 상태로 극한을 구할 것을 요구했을 것이며 실제로 이렇게 출제되는 경우도 많다. 만약 그렇다면 학생들이 직접 로그를 취한 후 생각했어야 할 것이다.

 

복잡한 곱셈식에 로그가 취해진다면 ‘곱’을 ‘합’으로 변환할 수 있으며, 때문에 극한 계산이 수월해진다. 이 문제에서는 이 과정까지 진행된 상태에서 질문을 한 것이다. 여기서 제시문 [가]에 주어진 정적분의 정의를 이용하여 이 ‘합’을 ‘정적분’으로 변환하는 것이 가장 중요한 부분이며 그러기 위해서는 합을 Σ를 이용하여 표현했을 때 식을 변형하여 에 대하여 정리하는 것이 핵심이다.

 

[3-2]

n이 무한히 커질 때 는 의미의 로그함수의 유명한 극한 식을 증명하는 문제이다. 이미 다른 대학에서 여러 번 다루어졌을 정도로 수리논술에서는 기본적인 문항이다. 이를 보이기 위해서 먼저 문제에 주어진 부등식을 증명해야 한다. 이 부등식은 가장 일반적인 방법으로 증명이 가능하며 좌변으로 모두 이항한 후 좌변의 함수의 최솟값이 0보다 크다는 것을 미분법을 통해 보일 수 있다.

 

이제 부등식이 증명되었다면 극한식을 증명해야 하는데, 이처럼 ‘부등식 증명문제가 나온 후 극한값을 구하는 문제가 나오는 상황’은 수리논술에서 매우 빈번하게 등장하는 상황이다. 주어진 극한을 직접 구하기 힘들기 때문에 부등식을 통해 힌트를 주는 것이며 이 경우 조임정리(극한의 대소관계)를 활용하여 간단히 극한을 구할 수 있을 것이다.

 

[3-3]

좌변의 급수를 우변의 정적분으로 변환하는 문제이다. Σ 안의 식을 에 대하여 정리하여 정적분의 정의를 적용하면 우변과 같은 정적분을 얻을 수 있다. 단, 좌변의 일부분은 정확히 우변의 정적분으로 완전히 변환되지만 좌변의 일부분이 남는 일이 일어난다. 이 부분을 따로 분리하여 0이 됨을 보이는 과정을 정확히 서술하도록 하자.

 

[3-4]

거듭제곱과 곱셈, 그리고 거듭제곱근이 복잡하게 적용된 수열의 극한을 구하는 문제이다. 앞에서 생각해온 것들을 종합적으로 적용해야 해결할 수 있는 문제이다. 문제풀이에 많은 단계를 거쳐야 하기 때문에 그만큼 어려운 문제이다. [3-1]에서와 마찬가지로 수열에 로그가 취해져 있으므로 복잡한 ‘곱’이 ‘합’으로 표현될 것이다. 문제 해결의 단계를 요약하면 아래와 같다.

 

1. 합을 Σ로 표현하고에 대하여 정리한다.  - [3-1]에서 연습한 과정을 생각하자.

2, Σ로 묶이지 않는 부분을 제거한다.   - [3-2]의 결과를 잘 이용하자.

3. 급수를 정적분으로 변환한다.   - [3-3]의 결과를 이용하자.

4. 정적분을 계산하여 답을 구한다.

 

마지막 단계에서는 [3-3] 문제에 적혀있는 정적분을 계산하게 될 것이다. 이 정적분을 계산하려면 어떤 방법을 써야할까? ‘로그함수의 적분에서 가장 많이 사용하는 방법은?’ 정답은 학생들이 더 잘 알고 있으리라 생각한다. 만약 잘 모르겠다면 제시문을 꼼꼼히 읽어보자.

 

[문제 4]

 

 

 

문항분석

 

이차곡선, 벡터과 관련된 기하학 문제이다. 많은 기하학 문제가 그러하듯 제시문에는 보조적인 수학이론 없이 상황만이 설명되어 있다. 앞 부분의 소문항은 다른 문제들 보다 더 쉬워 보이나 역시 마지막 소문항은 어렵다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

[4-1]

타원의 접선의 방정식을 구하는 문제이다. 타원의 방정식과 접점의 좌표가 모두 주어져 있으므로 미분법 또는 접선공식을 알고 있다면 공식을 이용하여 쉽게 풀 수 있을 것이다.

 

 

[4-2]

두 벡터의 사이각을 분석하는 문제이다. 주어진 점의 좌표와 [4-1]에서 구한 접선의 방정식을 이용하면 두 벡터를 구하는 것은 간단하다. 두 벡터를 알고 있으니 두 벡터의 사이각의 삼각함수 값도 자연스럽게 구할 수 있을 것이다. 참고로 사이각을 구할 때는 벡터의 내적을 이용해도 좋고, 삼각함수의 덧셈정리를 이용해도 좋다. 사이각의 삼각함수는 학생에 따라 코사인을 구했을 수도 있고, 탄젠트를 구했을 수도 있다. 두 가지 방법 중 무엇으로든 문제를 해결하는 것이 가능하며 여기서는 좀 더 일반적인 코사인으로 설명할 것이다.

 

사이각의 코사인을 구했을 때 (특수각이 아닌) 복잡한 값이 나온다는 것이 유일한 문제이다. 그렇기 때문에 문제에서도 Θ를 구할 것을 요구하지 않았고, 범위만을 요구한 것이다. 여기서 코사인 함수가 주어진 구간에서 단조 감소함을 이용하면 코사인 값을 비교하여 Θ의 범위를 얻어낼 수 있을 것이다.

 

[4-3]

포물선 경로를 따라 움직이는 공이 구멍을 통과할 때의 조건을 구하는 문제로 평면벡터를 분석하는 문제이다. 이 문제에서는 ‘공이 구멍을 통과한다’는 조건이 무엇을 의미하는지를 해석하는 것이 중요하다. 이 조건이 주어진 포물선이 점 A를 지난다는 것을 의미함은 대부분 학생들이 이해했을 것이다. 하지만 공은 원점에서 출발하므로 올라가면서 지붕을 통과해야 하고, 따라서 A에서 포물선의 접선의 기울기가 A에서 타원의 접선의 기울기보다 커야 한다. 이 두 가지를 함께 사용하여 범위를 구해야 함에 유의하자.

 

[4-4]

원과 타원 사이에 내접하는 원의 반지름을 구하는 문제이다. 실마리를 발견해낸다면 간단히 해결되겠지만 시험장에서 많은 학생들이 어려움을 느꼈으리라 생각한다. 중요한 것은 원이 접하는 조건이 주어진 문제이므로 원의 중심과 접점을 기준으로 생각해야 한다는 것이다.

 

이 문제 해결에는 여러 가지 방법이 있으나 벡터 연산을 이용하는 것이 가장 간단할 것이다. 간단히 소개하면 다음과 같다. 원의 중심을 C라 하면 벡터 OC는 벡터 OA와 벡터 AC의 합이다. 그런데 벡터 OA는 주어져 있으므로 벡터 AC만을 구하면 된다. 여기서 벡터 AC는 A에서 타원의 접선에 수직하다는 사실과 삼각형 OAC의 세 변의 길이가 모두 하나의 문자 r로 표현된다는 것을 잘 이용하면 r을 구할 수 있을 것이다.

 

 

서강대학교 수리논술 시험은 시험시간이 100분으로 단축된 2015학년도부터 난이도가 크게 하락했으며 문제의 유형도 다소 변화하여 현재까지 문제의 유형과 난이도가 비슷하게 유지되고 있다. 2015학년도 이후로는 서강대 수리논술 시험에서는 이전과 달리 생소한 개념이 거의 등장하지 않고, 교과과정에 충실하고 익숙한 개념들이 주로 출제되고 있다. 2019학년도에 서강대학교 논술전형에 지원하는 수험생들은 2015학년도 이후의 기출문제를 참고하여 시험을 준비하도록 하자.

 

 

서강대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.

 


▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사

 



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


위 기사의 법적인 책임과 권한은 에듀동아에 있습니다.






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