대학입시
  • 지난해 이화여대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까?
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.10.26 09:26
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ⑤


 





이화여자대학교 논술전형에서는 2019학년도에 670명의 신입생을 선발한다. 정시모집 선발 인원이 694명인 것을 생각하면 많은 인원이다. 그 중 자연계열만 비교한다면 논술전형 선발인원이 정시모집 선발 인원보다 조금 더 많은 수준이다. 

 

 

이번 회에서는 전년도 이화여대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.

 

 

○ 이화여자대학교 수시모집 논술고사

 

이화여자대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 100분에 수리논술 3문항이 출제되고, 각각의 문제는 소문항으로 나누어질 수 있다. 경희대의 자연계 논술은 자연계열I(의예과 외)과 자연계열Ⅱ(의예과)로 나누어 출제되며, 두 유형의 시험문제의 대부분은 동일하며 하나 정도의 대문항만 변형되는 형태로 출제된다. 일반적으로 1개 정도의 대문항이 자연계열Ⅱ의 문제가 자연계열I의 문제보다 어렵게 출제된다.

 

2018학년도 이화여대 수리논술 문제의 난이도는 평이했으며 출제방식 및 유형도 예년과 큰 차이 없었다.

 


○ 2018학년도 이화여자대학교 자연계열 수리논술 기출분석

 

이화여대 수리논술은 제시문이 없고, 문제의 상황만을 간결하게 알려준 후 문제가 제시되는 형태로 서울시립대나 한양대 등과 유사한 유형이라 할 수 있다. 시험 시간이 점차 줄어들면서 최근 문제 난이도는 평이해진 상태이다. 

 

이화여대 수리논술 문제를 풀 때는 다음 사항에 가장 주의해야 한다.

 

“소문항 사이의 연관관계를 생각하자”

 

제시문이 없는 논술이니만큼 대부분의 힌트가 소문항들을 통하여 주어진다. 때로는 그것이 문제풀이의 결정적인 힌트가 되는 것도 많다. 따라서 이화여대 수리논술 시험을 볼 때는 이전 문항이 의미하는 바가 무엇인지를 꼭 생각하며 풀어야 한다.

 

이화여자대학교 수리논술 시험을 준비하는 학생들은 아래의 문항분석을 보기 전에 먼저 스스로 풀어볼 것을 권한다. 학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주기 위해서 아래 문항분석은 문제 풀이 방법을 알 수 있게 하는 설명이 다소 포함되어 있다. 하지만 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.

 

 

○ 자연계열I

 

2018학년도 자연계열I(의예과 외)에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 




 

2018학년도 이화여대 수리논술은 학생들이 비교적 익숙하게 다루어 본 파트에서 출제되어 개인적으로는 전년도 수리논술에 비해 쉽게 출제되었다고 생각한다. 앞에서도 말했듯 이화여대 수리논술은 제시문이 없기 때문에 소문항 사이의 연관관계를 잘 생각하여 접근하는 것이 중요하다.

 

 

문항분석

 

 

 

[문제 1]

합성함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제로 이전에 이화여대에서 절댓값 등을 이용하여 복잡한 함수를 만들어 출제했던 것에 비하면 쉽게 해석 가능한 함수가 출제되었다. 삼각함수로 이루어진 복잡한 함수에서 소문항 (1)에 주어진 것과 같이 변수를 치환하여 최댓값과 최솟값을 구하는 문제다. 

 

참고로 주어진 함수는 최대, 최소를 구하기 위해서 전혀 치환을 할 필요가 없는 함수다. 왜냐하면 치환하여 간단한 함수를 만든 후 미분하는 것이 아니라, 미분을 다 계산한 다음에 치환해야 하기 때문이다. 또한 치환한 상태에서 최댓값과 최솟값이 나오는 것이 아니라 다시 원래대로 되돌려야 답이 나온다. 즉, 치환을 통해 얻는 이득은 아무것도 없다. 하지만 이득이 없다 하더라도 문제는 그것을 요구하고 있으므로 그에 따라 풀어야 한다.

 

첫 번째 소문항은 착실하게 계산하여 치환하면 될 것이고, ‘사인과 코사인이 만족하는 항등식’만 떠올릴 수 있다면 어렵지 않게 해결될 것이라 생각한다.

 

두 번째 소문항은 도함수가 0이 되는 점을 찾기 위해 ‘치환된 변수 t가 가질 수 있는 범위’를 생각해야 할 것이다(이것은 변수를 치환할 때 언제나 주의해야 하는 것이다). 또한 도함수는 t로 치환하였지만 원래 함수가 t로 치환되지 않았으므로 최댓값과 최솟값을 구하기 위해서는 ‘어쩔 수 없이 변수를 다시 로 되돌려야’ 하는 상황이 발생된다. 이점만 주의하면 된다.

 

[문제 2]

삼차함수와 이차함수로 구성된 두 곡선의 교점의 개수가 2개 이상일 조건을 찾는 문제로 같은 해인 이화여대 2018학년도 모의논술 1번 문제의 연장선상에 있는 문제라 할 수 있다.

 

교과서에서 다루는 삼차방정식이 2개 이상의 실근을 가질 조건을 적용하면 해결되는 문제다. 여기서 ‘자연수 조건’을 이용하여 어디가 극대이고 어디가 극소인지를 먼저 파악한다면 풀이를 더욱 간단히 할 수 있을 것이다.

 

[문제 3]

삼각함수 덧셈정리(배각공식)의 연쇄적인 적용을 통하여 귀납적으로 정의된 수열의 일반항을 구하고, 그 극한을 구하는 문제로 2014학년도에 아주대학교에서 출제된 문제와 거의 같은 문제다(교과서의 기본 공식을 활용한 문제이므로 얼마든지 유사한 문제가 출제될 수 있다).

 

이 문제를 해결하는 데는 다음 두 가지가 중요하다.

 

1) 사인 배각공식을 유도할 수 있는가?(또는 알고 있는가?)

2) 수학적 귀납법의 절차를 알고 있는가?

 

만약 모르고 있다면 바로 교과서를 찾아보돌고 하자. 여기서 사인 배각공식은 를 의미한다.

 

그리고 이보다 더 중요한 것은 이것들을 이용하여 어떻게 식을 정리하고 일반항을 구하는가이다. 이것을 위해서는 다음 자료에서 중요한 아이디어를 얻을 수 있기를 바란다. 앞에서 2014학년도 아주대학교 문제를 언급했었는데 그 문제에 포함되었던 제시문의 일부를 소개하고 설명을 마치려 한다. 식의 모양과 숫자는 달라 보일 수 있지만 여기서 주목할 것은 ‘아이디어’라는 것을 명심하자.

 

 

 

 

무언가를 찾아내었을까? 여기서 사용된 연산의 ‘규칙성’을 잘 활용하면 위 문제가 해결될 것이다.

 

마지막으로 두 번째 소문항을 풀지 못했어도 세 번째 소문항을 푸는 데는 전혀 문제가 되지 않음을 명심하자.

 

 

 

○ 자연계열Ⅱ

 

2018학년도 자연계열Ⅱ(의예과)에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 

자연계열Ⅱ에서는 소문항 하나가 추가되고 배점이 조금 달라진 것이 자연계열I과의 유일한 차이이며(사실 숫자가 계산이 어려워지도록 변한 부분도 있다) 시험시간을 동일한데 문제가 더 많으므로 더 짧은 시간 동안 문제를 해결했어야 한다.

 

자연계열I과의 차이점을 구체적으로 나열하면(자연계열Ⅱ의 문제 번호 기준)

 

문제 1의 배점이 30%에서 20%로 줄어들었다.

문제 3의 배점이 30%에서 40%로 늘어났다.

문제 2와 문제 3의 순서가 바뀌었다.

문제 3의 소문항이 1개 추가되었다.

문제 3의 함수에서 계수가 조금 바뀌었다.

 

정도이다.

 

나머지는 자연계열I 문항분석에서 모두 다루었으므로 변형된 문제인 [문제 3]에 대해서만 서술한다.

 

 

 

문항분석

 

 

 

 

[문제 3]

자연계열I의 문제에서 함수에 포함된 계수들이 조금 바뀌었다. 그리고 소문항이 1개 추가되었다. 계수가 바뀜으로 문제의 유형이 바뀐 부분은 없다. 자연계열I의 문제와 동일한 방식으로 풀이되나 계산이 자연수로 딱 떨어지지 않고, 무리수 범위까지 계산이 되므로 조금 더 번거로워졌다고 할 수 있다.

 

자연계열Ⅱ에서 새롭게 추가된 두 번째 소문항은 앞에서 구해낸 n의 값에 대하여 곡선으로 둘러싸인 부분의 면적을 구하는 문제이고, 수능이나 내신에서도 자주 다루어보던 일반적인 유형의 문제이다. 단, 3차 방정식의 근을 구하는 과정이나 삼차함수를 적분하여 넓이를 구하는 과정에서 많은 시간이 소요될 수 있으니 시간관리가 가장 중요한 시험이라고 생각한다. 계산과정을 단순히 할 수 있는 요소로는 삼차함수의 대칭성을 활용하는 정도가 있을 것이다.

 

자연계열I에서도 마찬가지인데 자연계열II에서도 이화여대가 공개한 채점기준을 보면 평가항목이 많이 세분화되어 있다. 문제의 난이도가 낮아진 만큼 세분화된 채점으로 변별력을 가지겠다는 의미로 볼 수 있을 것이다.

 

문제가 쉬워질수록 완벽한 답안 작성이 당락에 영향을 줄 가능성이 커진다. 고로 답안 작성을 꾸준히 연습하는 것도 수리논술 준비에 중요한 부분임을 명심하자.

 

이화여대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.






▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사

 



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


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