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  • 지난해 경희대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까?
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.10.25 09:53
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ④

 






경희대학교 논술우수자전형에서는 2019학년도에 770명의 비교적 많은 인원을 선발하여 많은 학생들이 관심을 가지는 전형이다. 이번에는 전년도 경희대에서 출제된 수리논술 문제에 대하여 알아보자.

 

 

○ 경희대학교 수시모집 논술고사

 

경희대학교 수시모집 자연계열 논술고사는 시험시간 120분에 수리논술 1문제, 과학논술 1문제가 출제되고, 각각의 문제는 대략 4개 정도의 소문항으로 이루어지진다. 배점은 수리논술 60%, 과학논술 40%로 분배되며 과학논술은 물리, 화학, 생명과학 중 한 과목을 선택하여 응시하게 된다. 경희대의 자연계 논술은 자연계열과 의학계열로 나뉘어 출제되며, 두 계열의 문제 유형 차이는 크지 않고 난이도에만 차이가 있다고 볼 수 있다. 

 

2018학년도 수리논술 문제의 난이도는 평이했으며 출제방식 및 유형도 예년과 큰 차이가 없었다. 앞에서 말했듯 경희대학교 자연계열 논술시험에는 수리논술과 과학논술이 함께 출제되며 이 글에서는 수리논술 문제의 분석만을 다룰 것이다.

 

 

○ 2018학년도 경희대학교 자연계열 수리논술 기출분석

 

경희대 수리논술의 경우 초창기부터 매우 어려운 수리논술로 분류되었고, 불과 몇 년 전까지만 해도 어려운 편이었다. 그런데 2017학년도부터 문제의 난이도가 급격히 하락하였고, 지난해(2018학년도) 시험까지 이 기조가 유지되어 100점 만점 기준으로 80, 90점을 받아야 합격할 수 있는 시험이 되어버렸다. 즉, 최근 수리논술 시험은 매우 쉽게 출제되었다는 것이다.

 

최근 들어서는 평면도형 또는 공간도형에서 길이나 넓이 등을 식으로 표현하고, 미분, 수열의 성질 등을 적용하여 그 값을 분석하는 문제들이 집중적으로 출제되고 있다. 경희대학교 논술전형을 준비하는 학생들은 이러한 유형의 문제를 사전에 잘 연습해두어야 할 것이다.

 

경희대 수리논술은 자연계열과 의학계열로 나누어 출제되고, 또 2018학년도에는 자연계열이 토요일과 일요일로 나뉘어 시험을 보았다. 이제부터 이 3번의 시험 문제에 대하여 순차적으로 분석을 시작할 것이다. 경희대학교 수리논술 시험을 준비하는 학생들은 아래의 문항분석을 보기 전에 먼저 스스로 풀어볼 것을 권한다. 참고로 실제 시험에서 주어지는 시험시간은 총 120분이고, 과학논술을 제외하고 수리논술만 푼다면 72분 정도가 주어진다고 생각할 수 있다.

 

 

○ 토요일

 

2018학년도 토요일에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 




2018학년도 경희대 수리논술은 학생들에게 익숙한 유형으로 출제되어 난이도가 전반적으로 평이했으며, 일반적인 수능 4점짜리 문제 난이도와 별반 차이가 없어 보이기도 했다.

 

입시결과로 보면 토요일과 일요일 시험 중에서도 토요일 시험이 근소하게 더 쉬웠던 것처럼 보인다. 토요일에 시험 본 학과 중 합격자 논술 평균점수가 가장 낮은 학과는 지리학과(자연)로 81.1점이고, 가장 높은 학과는 각각 92대 1과 101대 1의 경쟁률을 기록했던 화학과와 간호학과(자연)로 합격자 논술 평균점수가 무려 97.4점이었다.

 

 

 

문항분석

 


 

 

[논제 I-1]

문제의 조건에 맞게 그려진 도형에서 선분의 길이와 그것이 최대가 될 때를 구하는 문제다. 동일년도(2018학년도) 두 번의 모의논술에서 모두 삼각비를 이용하여 변의 길이를 나타내는 문제가 출제되었듯 이 문제도 삼각비를 활용하는 능력이 가장 중요하다. 주어진 변의 길이는 처음 부채꼴의 반지름 1뿐이므로 ‘1을 한 변으로 하는 직각삼각형을 구성’하고 구하고자 하는 선분을 길이를 구하기 쉽도록 적당히 분할하여 접근한다면 간단히 해결될 것이다.

 

최댓값을 가질 때를 구하기 위해서는 제시문에서 설명한대로 미분을 이용할 수도 있으며, 삼각함수의 일차식이 유도되므로 삼각함수의 합성을 이용해도 좋다.

 

[논제 I-2], [논제 I-3]

호와 선분으로 둘러싸인 도형의 면적을 구하고 그것이 최대가 될 때를 구하는 문제다. 주어진 도형이 넓이 공식을 알고 있는 도형이 아니므로 적당히 도형을 분할하여 넓이 공식을 알고 있는 도형, 즉 부채꼴과 삼각형으로 나누어서 넓이를 구해야 할 것이다.

 

앞에서와 마찬가지로 미분을 통하여 최댓값을 가지게 하는 θ를 구할 수 있다. 중요한 것은 경희대학교에서는 함수의 증가와 감소를 이용하여 이 점에서 최댓값을 가짐을 명백히 서술하는 과정에만 무려 13점의 부분점수를 배점하였다는 것이다. 이 과정 하나에만 부여된 배점이 [논제 I-2]나 [논제 I-1](1) 또는 (2) 각각의 문제 전체에 배정된 점수보다 높다. 따라서 『이 점 주변에서의 증가와 감소를 답안에 분명히 서술』해주는 것이 매우 중요하다.

 

[논제 I-4]

두 각 α와 β의 크기를 비교하는 문제다. 여기서 α는 문제가 되지 않지만 β는 특수각이 아니므로 α와 β의 크기를 직접 비교하기는 어렵다. 따라서 두 각을 비교하기 위해서 그 각이 아닌 ‘그 각의 탄젠트 값’을 이용하는 것이 이 문제의 핵심이다. 이 때 두 각이 아닌 두 각의 『탄젠트를 비교해도 되는 이유(힌트는 제시문의 그래프이다. 직접 생각해보자)』를 서술하는데 적지 않은 부분배점이 되어 있으니 주의하도록 하자.

 

 

 

○ 일요일

 

2018학년도 일요일에 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 

 



결과적으로 보았을 때, 토요일과 일요일 시험 중에서 일요일 시험이 약간 더 어려웠다고 볼 수 있으며 그 차이가 크지는 않다. 2018학년도에 일요일에 시험 본 학과 중 합격자 논술 평균점수가 가장 낮은 학과는 원예생명공학과로 73.2점이고, 가장 높은 학과는 일요일 시험 본 학과 중 유일하게 90점대를 기록한 전자공학과로 합격자 논술 평균점수는 91.2점이었다. 이를 비롯해 대부분 학과들 합격자 평균은 70점대 후반에서 80점대로 앞에서 소개했던 토요일보다는 다소 합격 점수가 낮음을 알 수 있다.

 

 

 

 

문항분석


 

 

 

 

[논제 I-1]

주어진 육각형의 넓이를 구하고, 최소조건, 상수조건 등을 구하는 문제다.

 

각자 나름대로의 방법으로 주어진 육각형을 삼각형, 사다리꼴 등으로 나누어 넓이를 어렵지 않게 구할 수 있을 것이다. 그 후 최소조건은 제시문 [가]에 서술된 이차함수의 최소조건을 그대로 적용하고, 또 상수함수가 되기 위한 조건을 적용하여 간단히 해결할 수 있을 것이다.

 

[논제 I-2]

외접하는 두 개의 원과 두 개의 공통 외접선으로 둘러싸인 도형의 둘레 및 넓이를 구하고, 그것의 최대, 최소를 구하는 문제다. 먼저 주어진 도형을 부채꼴 부분과 사다리꼴 부분으로 분리해서 생각하는 것이 첫째로 해야 하는 것이다.

 

이 문제 해결에서 가장 중요한 과정은 다음 과정이다. 부채꼴과 사다리꼴로 나뉘어진 부분의 둘레 또는 넓이를 구해야 하는데 두 원의 반지름이 주어지지 않아서 구할 수가 없는 상황이다. 이 상황에서는 “문제에 주어진 길이가 무엇이 있는가?”라는 생각을 해야 한다. 주어진 조건을 확인하면 문제에 주어진 길이는 두 원의 중심 사이의 거리 1뿐이다. 따라서 ‘1을 한 변으로 하는 직각삼각형을 구성’하고, 그것을 이용하여 두 원의 반지름의 관계를 생각해야 한다.

 

이 사실을 이해한 학생은 두 원의 반지름을 θ로 나타내는데 성공했을 것이고, 자연스레 둘레나 넓이도 구할 수 있을 것이다. 이후로는 미분법을 통하여 최댓값과 최솟값을 구할 수 있을 것이며 토요일 문항설명에서도 강조했듯 『함수의 증가와 감소를 이용하여 최대 또는 최소가 되는 근거』를 명확히 서술해 주어야 한다.

 

 

○ 의학계열

 

2018학년도 의학계열에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 




자연계열 문항과는 다르게 문제의 난이도가 평이하지 않았다. 넓이를 구하는 것 자체는 어렵지 않으나 군데군데 꼼꼼히 따져봐야 할 요소들이 있기 때문이다. 그것은 입시결과를 봐도 알 수 있다. 의학계열이고, 경쟁률이 100대 1을 넘어섬에도 불구하고 자연계열 다른 학과보다 오히려 합격자 평균점수가 낮다. 2018학년도 의학계열 3개 학과의 논술 합격자 평균점수는 아래와 같다.

 

의예과 85.9점

치의예과 79.9점

한의예과(자연) 72.1점

 

합격 점수는 시험의 난이도에 따라 달라지는 것이니 참고만 하기를 바라며, 이제 문제 설명을 시작하자.

 

 

 

문항분석

 

 

 

 

[논제 I-1]

기울기가 2로 일정하면서 y절편이 변화하는 직선으로 주어진 정사각형을 잘랐을 때, 작은 부분의 넓이 비율을 구하는 문제로 비교적 평이한 문제다.

 

첫 번째 소문항은 구하는 함수의 정의역을 구하는 문제로 학생들 쉽게 해결할 수 있으리라 생각한다. 두 번째 소문항에서도 ‘n이 양수로 주어져 있기 때문에’ 넓이가 크지 않은 도형이 무엇인지는 곧바로 알 수 있을 것이다. 이 때, 직선을 이리저리 움직여보며 구하는 도형이 어떤 모양을 하는지 잘 살펴보는 것이 중요하다. 즉, n이 1보다 클 때와 작을 때 도형의 종류가 변화하는 것을 발견하고, 두 가지 구간을 나누어 접근해야 한다.

 

[논제 I-2]

x축 위의 정해진 점을 지나면서 기울기가 변화하는 직선으로 주어진 삼각형을 잘랐을 때, 작은 부분의 넓이 비율을 구하는 문제다. 여기서는 ‘넓이가 크지 않은 도형’이 무엇인지 확실히 정해지지 않아 앞의 문제보다 분명 까다롭다.

 

첫 번째 소문항에는 수리논술 문제 전체에 배정된 점수 60점 중 절반인 30점이 배점되어 있다. 그만큼 이 한 문제 안에서 고려해야할 사항이 많다는 것이다. 대학에서 공개한 이 문제의 해설에는 간단히 설명할 수 있는 것들을 복잡하게 설명한 부분이 포함되어 있으니 해설지를 볼 때는 감안하여 공부하기를 바란다.

 

먼저 r은 ‘넓이가 크지 않은 도형의 넓이 비율’이므로 절대 ½을 넘을 수 없다. 그런데 a의 값과 무관하게 직선 ℓ이 원점 O를 지날 때 정확히 반으로 나뉘어져 r이 ½이 된다. 그러므로 r의 최댓값이 ½인 것은 매우 쉽게 구할 수 있다(½인 경우가 존재하므로).

 

까다로운 것은 최솟값인데 앞에서도 언급했듯 ‘넓이가 크지 않은 도형’이 무엇인지 확실히 정해지지 않기 때문이다. 직선 ℓ이 선분 OG와 만나는 y절편을 t라 하자. r을 구하기 위해서는 먼저 둘 중 넓이를 구하기 쉬운 도형(아무래도 사각형보다는 삼각형이 더 간단할 것이다)의 넓이 비율을 t의 함수로 나타내야 할 것이다. 만약 『이 값이 ½ 이하라면 이 값이 r과 같을 것이고, ½보다 크다면 1에서 이 값을 뺀 것이 r일 것』입니다. 즉, 이 함수의 최솟값이 r의 최솟값일 수도 있고(½보다 작은 경우), 1에서 이 함수의 최댓값을 뺀 것이 r의 최솟값일 수도 있다(½보다 큰 경우)는 것이다. 학생들은 이 두 가지 경우를 a의 범위에 따라 나누어 꼼꼼히 비교해봐야 한다.

 

두 번째 소문항은 첫 번째 소문항의 답을 구했다면 부등식을 세워 간단히 해결할 수 있는 문제이지만, 안타깝게도 앞의 소문항의 정답을 유도하지 못했다면 풀 수가 없는 문제이기도 하다.

 

 

경희대학교 수리논술 시험은 난이도가 큰 폭으로 떨어진 2017학년도부터 현재까지 특정 분야의 문제가 매우 높은 비율로 출제되고 있다. 따라서 2019학년도에 경희대학교 논술전형에 지원하는 자연계열 수험생들은 이와 같은 유형의 문제들, 즉 2018학년도와 2017학년도에 경희대에서 출제된 문제들은 철저히 분석하며 시험을 준비해야 할 것이다.

 

경희대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.
 

 


▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


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  • 입력:2018.10.25 09:53
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