대학입시
  • 지난해 한양대 수리 논술고사에는 어떤 문제가 출제됐을까? 中
  • 김효정 기자

  • 입력:2018.10.19 08:00
박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사가 말하는 ‘수리논·구술의 모든 것’ ③

 





한양대학교 논술전형은 수능 최저학력기준이 없어 많은 상위권 학생들이 관심을 가지는 전형이다. 이번 회에서는 전년도 한양대에서 출제된 수리논술 문제(오후1, 오후2)에 대하여 알아본다.

 

 

아래 문항분석에는 문제 풀이 방법을 알아챌 수 있는 설명이 많이 포함되어 있으므로 진지하게 공부해보고자 하는 학생들은 문제를 먼저 풀어 본 후 문항설명을 읽어볼 것을 권한다. 

 

학생들의 문제 해결 능력 향상에 도움을 주기 위해서는 어느 정도의 아이디어는 공개할 수밖에 없는 점 양해를 바라며, 학생들이 자유롭게 생각할 기회를 빼앗지 않기 위하여 반드시 필요한 경우를 제외하고는 구체적인 풀이 방법의 언급은 가능한 피하도록 할 것이다.

 

○ 오후1

 

2018학년도 오후1에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 



해당되는 학과는 전기·생체공학부, 신소재공학부, 화학공학과, 생명공학과, 기계공학부, 원자력공학과, 산업공학과이다. [문제 1]은 쉽지만 개인적인 생각으로는 [문제 2]의 마지막 소문항은 작년 문제 중 의예과 문제를 제외하고 가장 어려운 문제가 아닐까 한다. 그럼에도 불구하고 [문제 1]의 난이도가 쉬워서인지 오후1 응시 합격자의 논술평균점수는 최고 87점(생명공학과)에서 최저 80점(기계공학부)으로 매우 높았다.

 

 

문항분석

 


 

 

[문제 1]

구와 평면이 만나 원이 생기는 상황에서 여러 조건들을 달리하며 정사영의 넓이 변화를 묻는 문제다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

소문항 1

구의 중심, 반지름, 원의 중심의 좌표가 주어지고, 이 원을 다른 평면으로 정사영한 넓이를 구하는 문제이다. 수능 모의고사에서도 자주 다뤄지는 문제이므로 학생들에게 익숙할 것이다.

 

소문항 2

소문항 1에서 정사영을 내리는 평면이 ‘x축을 포함하는 임의의 평면’으로 바뀐 문제이다. 문제에서 요구하는 것을 얻기 위해서는 두 평면 사이의 각을 구해야 하므로 이 ‘x축을 포함하는 임의의 평면’의 법선벡터를 적당한 방법으로 표현해야 한다. 이를 표현하는 방법은 여러 가지가 있는데, 먼저 x축을 포함하는 평면이므로 법선벡터는 (0, □, □)꼴로 표현이 됨(두 □가 같을 필요는 없음)을 파악해야 할 것이다. □를 채우는 방법은 정말 다양하다. 그 중 삼각함수를 떠올린 학생은 매우 간단하게 문제를 해결할 수 있었을 것이다.

 

소문항 3

앞의 두 소문항에서는 구와 만나는 평면의 법선벡터를 (다른 조건을 통해서)알려주었으나, 이 소문항에서는 그것을 알려주지 않았다. 따라서 구와 만나는 평면의 법선벡터를 미지수로 표현(예를 들어, (a, b, c) 등)하여야 문제풀이를 시작할 수 있다. 여기서 주어진 정사영의 넓이 등의 조건을 적용하여 관계를 얻고, 구하고자 하는 넓이를 식으로 표현하여 최댓값을 구하는 일반적인 방법으로 풀이가 가능하다.

 

학생들이 어려움을 겪을 수도 있는 지점은 최댓값을 구하는 과정일 것이다. 어떻게 식을 작성하느냐에 따라 두 개 이상의 변수가 남을 수도 있기 때문이다. 그러한 경우 ‘각각의 식을 도형의 방정식으로 생각’하여 접근하는 것이 좋다(아마 ‘부등식의 영역’ 단원에서 많이 연습해 보았을 것으로 생각한다). 대학에서 발표 예시답안에서는 이러한 방법으로 풀이했지만, 이와는 다르게 c를 구한 후 남은 변수를 삼각함수를 이용해 표현했다면 넓이가 하나의 변수로 표현되어 더욱 간단히 해결될 것이며, 필자는 이 방법을 추천한다.

 

 

 


 

[문제 2]

n차 함수와 무리함수가 합성된 복잡한 함수가 주어지고, 그 곡선의 개형을 파악할 수 있도록 하는 소문항들이 출제되었다. 이 문제는 계산이 매우 복잡하여 그것으로 인해 학생들이 어려움을 겪을 수 있는 문제다. 즉, 이 문제는 풀이의 순서를 잘 계획하여 계산을 간단히 하는 것이 가장 중요하다. 구체적으로 처음부터 모두 대입하여 계산하지 말고, ‘일단 식을 정리한 후 주어진 함수를 대입’하는 것이 도움이 된다.

 

먼저 주어진 곡선에 대해 참고삼아 소개하고 지나가려 한다. <가>에 주어진 식에서 f(x)를 y로 바꾼 후 양변을 n제곱하면 xⁿ+yⁿ=1이 된다. 이 곡선은 라메곡선(타원을 일반화한 도형인 초타원에서 a=b인 경우이기도 하다)이라 불리는 도형의 일부로 이 문제에서는 이 도형의 1사분면 부분만을 다루고 있다. 라메곡선의 모양을 학생들에게 잘 이해시켜줄만한 그림을 소개한다. 아래 그림의 출처는 네이버 지식백과이다.

 



 

 

n의 값이 변함에 따라 도형의 모양이 변한다. 그런데 그 규칙성이 예상할 수 있지 않을까? 예상되는 학생은 이 그림만 보아도 소문항 3개의 답이 벌써 보일 것이다. 하지만 그게 중요한 것은 아니다. 우리는 그것을 수식으로 증명해야 하기 때문이다. “인터넷에서 검색해보니 그렇더라”고 답안지에 적을 수는 없지 않은가?

 

라메곡선의 소개는 여기까지 하도록 하고, 문제풀이에 대해 이야기하자. 주어진 식을 착실히 미분하고, 계산하여 필요한 답을 낼 수도 있다. 그러나 일반적으로 이러한 함수가 주어진 경우에는 1) xⁿ+yⁿ=1의 형태로 변형하여 음함수 미분을 통해 계산한다 2) x, y를 각각 코사인, 사인의 거듭제곱으로 치환한다와 같은 방법이 계산을 간단하게 해 줄 때가 있다. 이 문제에도 이를 이용하여 계산을 간단히 할 수 있는 문제가 부분적으로 있으나 크게 간단해지지는 않는다. 하지만 이런 유형의 문제에서 참고하라는 것이다.

 

이제 각 소문항을 살펴보자.

 

소문항 1

곡선 위의 점 중 원점에서 가장 멀리 떨어진 점을 찾는 문제다. 거리공식을 적용하여 계산만 잘 하면 어려움 없을 것이다.

 

소문항 2

곡선 위의 점에서 그은 접선이 x축, y축과 만나는 점사이의 거리의 최솟값을 구하는 문제다. 접선의 방정식을 구하고 두 점 P, Q를 찾은 후 거리를 표현하고 최솟값을 구하는 일반적인 문제다. 서두에서도 밝혔듯 까다로운 것은 계산뿐이다. 이 문제에서는 f'(t) 자체가 복잡하기 때문에 차례대로 하나씩 계산해나가기 보다 구하는 길이를 먼저 f(t)와 f'(t)의 식으로 나타내고 마지막에 f(t)와 f'(t)의 값을 대입하는 것이 더 간단할 것이다.

 

소문항 3

n이 한없이 커질 때, 주어진 곡선 아랫부분 면적의 극한을 구하는 문제이다. 앞에서 소개한 라메곡선의 몇 가지 개형을 봤다면 이 문제의 답이 예상될 것이다. 결론부터 말하면 라메곡선은 n이 한없이 커질 때 정사각형 모양에 수렴한다. 그런데 이를 증명하기가 쉽지 않다. 그렇기 때문에 제시문 <다>가 주어진 것이다. 이것은 2018학년도 한양대 모든 모집단위에서 출제된 수리논술을 통틀어 유일한 교과서 개념이 주어진 제시문이다. 제시문 <다>는 조임정리로 극한을 직접 구하기 힘든 경우 주로 주어진다.

 

문제의 정적분은 일반적인 방법으로 계산이 불가능한 정적분이다. 따라서 정적분을 직접 구할 것이 아니라 정적분보다 작은 것과 정적분보다 큰 것을 찾고 그 둘이 같은 곳에 수렴함을 보이라는 것이다. 이들을 찾는 데에는 소문항 1에서 구한 ‘점 A가 n이 커짐에 따라 어디로 이동하는지를 생각’하면 힌트가 될 수 있을 것이다.

 

 

○ 오후2

 

2018학년도 오후2에서 출제된 수리논술 문항을 요약하면 아래와 같다.

 

 


 

 

 

해당되는 학과는 융합전자공학부, 컴퓨터소프트웨어학부, 에너지공학과, 미래자동차공학과이며 2018학년도 한양대 수리논술 오후2의 난이도는 높은 편이었다. 쉬운 문제도 여럿 포함되어 있지만 몇몇 소문항은 문제파악이 안되면 시작조차 할 수 없는 유형이었다. 그 결과 오후2 응시 학과는 인기가 있는 학과들임에도 불구하고 합격자의 논술 평균점수가 모두 60점대 중반에 분포할 정도로 낮았다.

 

오후2에서도 [문제 1]은 수능 모의고사에서도 자주 다루어 본 평이한 수준의 문제였지만 [문제 2]는 수리논술을 충분히 공부하지 않은 학생이면 풀기 어려운 문제였다.

 

 

문항분석

 


 

 

[문제 1]

포물선, 타원, 쌍곡선에 두 접선을 그을 수 있을 때 두 접선의 관계를 분석하는 문제가 출제되었다. 수능 모의고사 등에서도 종종 볼 수 있는 유형이므로 학생들 입장에서 접근하기 쉬웠을 것으로 예상된다. 문제풀이의 핵심은 이차방정식의 판별식과 근과 계수와의 관계의 적용일 것이다. 각각의 소문항을 살펴보자.

 

소문항 1

포물선 밖의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선이 수직이 되는 점의 집합을 구하는 문제다. 적당한 미지수를 잡아 접선의 방정식을 나타내고, 주어진 조건을 적용하면 해결될 것이다. 단, 계산이 복잡해질 수 있으므로 주어진 ‘포물선의 꼭짓점을 원점으로 평행이동’하여 답을 구한 후, 구한 답을 다시 평행이동 하면 계산을 좀 더 간단히 할 수 있다. 앞에서 말한 미지수는 대학에서 공개한 예시답안에서처럼 ‘접점’으로 잡는 것도 좋지만, 할 수 있는 학생들은 ‘기울기’로 잡을 것을 추천한다.

 

소문항 2

타원 밖의 한 점에서 포물선에 그은 두 접선이 이루는 각을 구하는 문제이다. 여기서도 먼저 적당한 미지수를 잡아 접선의 방정식을 나타내야 할 것인데, 탄젠트 값을 구하는 문제이므로 이 미지수는 ‘기울기’로 잡는 것이 좋다. 이 접선이 주어진 점을 지남을 적용한 뒤 답을 구하기 위해 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 활용하는 것이 핵심이다.

 

소문항 3

쌍곡선의 접선이 두 개일 조건을 구하는 문제로 어쩌면 3개의 소문항 중 가장 쉬워 보이는 문제일 수도 있다. 주어진 조건을 적용하여 이차방정식을 세운 뒤 판별식을 이용하면 바로 해결할 수 있기 때문이다. 그런데 이 문제의 배점이 3개 소문항 가운데 가장 높다. 그것은 쉽게 실수할만한 요인들이 있기 때문일 것이다. 

 

위에서 이차방정식이라고 표현했으나 이차항의 계수가 t에 대한 식으로 표현된 이차방정식이 유도된다. 즉, 이것이 이차방정식이 아닐 수도 있다는 것이다. 따라서 이 문제는 ‘이차항의 계수가 0인 경우와 아닌 경우로 나누어 접근’해야 정답을 얻을 수 있다. 이것만 주의한다면 전혀 어렵지 않은 문제일 것으로 생각한다.

 

 


 

 

 

[문제 2]

미분, 적분, 극한에 관한 문제가 각 소문항마다 개별적으로 출제되었다. 이 문제에서는 학생들이 수리논술을 준비한 정도에 따라 많은 차이가 날 수 있다.

 

소문항 1

정적분이 포함된 부등식을 증명하는 문제다. 이러한 유형에 익숙한 학생은 단번에 해결하였을 것이고, 그렇지 못한 학생은 엉뚱한 방향으로 접근하여 시간만 소모했을 수 있다. 이 문제는 증명하고자 하는 부등식의 모양을 잘 파악하는 것이 중요하다.

 

가운데 부분의 가 좌우변의 로 변형된 것에 주목해야 한다. 『두 점에서 사인의 변화량이 그 미분인 코사인 값으로 변화』된 것을 관찰하였는가? 이로부터 ‘평균값 정리’를 이용하는 문제임을 파악할 수 있다. 여기까지 생각이 이르렀다면 평균값 정리를 이용하여 자연스레 문제가 해결되었을 것이다.

 

소문항 2
특정 구간에서의 정적분을 계산하고, 그것의 급수를 구하는 문제다. 결과적으로는 를 계산하게 된다. 만약 이렇게 문제를 냈다면 더 어려운 문제가 되었을텐데, 출제자가 처음부터 절댓값 기호 안의 함수의 부호가 바뀌는 부분을 모두 분리해주어 훨씬 생각하기 쉬운 문제가 되었다. 결론적으로는 문제에 나와 있는 순서대로 착실히 계산만 해내면 문제없이 해결될 것이다. 단, 지수함수와 삼각함수의 곱이므로 부분적분법을 사용하는 것은 알아야할 것이다.

 

소문항 3

쉽게 계산되지 않는 수열의 합인 을 조합해 만든 급수의 값을 구하는 문제다. 즉, 시그마(Σ)가 두 번 중첩된 문제이다. 오후2 문항 가운데 학생들이 가장 어려워한 문제로 생각되며, 문제 해결을 위해 넘어야 할 산이 여러 개이다.

 

먼저, 구하는 급수의 부분합을 정리한다. 계산할 수 없는 수열이 주어졌으니 그 값을 구하려 하지 말고, 하나하나 부분분수로 쪼개어 규칙성을 발견해야 함을 명심하자. 부분합을 구해보면 극한을 구하기 어려운 항이 포함되어 있다.

그것은 인데, 분자부분을 간단한 값으로 정리해야 극한을 얻을 수 있다. 이것을 직접 계산할 수 없기 때문에 조임정리를 이용해서 극한을 구하게 된다. 오후1에서는 제시문에서 이를 알려주었으나, 오후2에서는 알려주지 않아 학생들이 더욱 생각해내기 어려웠을 것이다.

 

분자의 값을 정리하기 위해 정적분을 이용하여 부등식  

을 유도해야 한다. 수리논술을 사전에 충분히 공부해두지 않았다면 이 과정을 생각지도 못했을 수 있다. 실제 많은 수리논술 시험에서 이와 같은 방법을 사용하는 경우 제시문 등에서 먼저 힌트를 주는 경우가 많다. 하지만 한양대는 그러지 않았기 때문에 더 어려웠을 것이다. 그런데 바로 직전년도인 2017학년도 한양대 수리논술 시험에서 똑같은 방법을 이용하는 문제가 나왔었다(2017학년도 오후2의 문제1-1). 바로 전년도 문제만 풀어봤어도 한양대에서는 이 정도까지는 기본 소양으로 생각함을 알고 준비할 수 있었을 것이다.

 

 

그 다음 과정은 조금 의문이다. 위 식까지 유도가 되었다 하더라도 답을 내기 위해서는 

 


 

임을 알아야 한다. 그런데 (알고 있는 학생도 많겠지만) 이것은 정확하게는 교과과정 밖의 내용이다. 정확히는 이 식을 수학적으로 유도하고(유도과정은 충분히 교과과정 내에서 설명 가능하다), 사용하는 것이 맞으나 한양대에서 발표한 예시답안에서도 이를 당연한 듯이 사용했다. 물론 수리논술 시험에서 이런 적이 처음은 아니며, 바로 전년도에도 그렇고 몇몇 대학에서 위 식을 당연한 듯 활용한 사례가 있었다. 위 식이 교과과정은 아니나 고등 교과과정과 매우 가까운 위치에 있기에 그러한 듯하다.

 

따라서 앞으로 한양대 시험을 볼 때는 (직접적인 증명 요구가 없다면), 필요한 경우 이 정도 사실은 사용할 수 있다는 생각으로 시험 보는 것이 좋을 것이다.

 

한양대학교 수리논술 시험은 2015학년도부터 난이도가 큰 폭으로 떨어졌고, 시험시간이 90분으로 고정된 2017학년도부터 현재까지 문제의 유형과 난이도가 비슷하게 유지되고 있다. 한양대 수리논술 시험에서는 이전에 출제되었던 개념, 수식뿐만 아니라 문제풀이의 주요한 아이디어들이 반복되어 사용되는 경우가 있으므로 2019학년도에 한양대학교 논술전형에 지원하는 수험생들은 최근의 기출문제는 반드시 풀어보며 시험을 준비하도록 하자.

 

한양대를 지원하는 학생들에게 많은 도움이 되었기를 바란다.



▶박순규 대치 여상진수리논술연구소 수리논술 강사

 



 



 



▶에듀동아 김효정 기자 hj_kim86@donga.com


위 기사의 법적인 책임과 권한은 에듀동아에 있습니다.






  • 입력:2018.10.19 08:00
  • 저작권자 무단복제-재배포 금지
  • 목록

  • 위로

작성자 필수
내용
/500글자

등록된 댓글이 없습니다.

▶ 많이 본 기사